Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 36

Không gian mẫu của phép thử là:

$$\Omega =\left\{\left(1,2\right);\left(1,3\right);\left(1,4\right);\left(2,1\right);\left(2,3\right);\left(2,4\right);\left(3,1\right);\left(3,2\right);\left(3,4\right);\left(4,1\right);\left(4,2\right);\left(4,3\right)\right\}$$

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là $n(\Omega )=12$.

Gọi A là biến cố “Lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là $n(\mathrm{A})=8$.

Xác suất của biến cố A là $p(\mathrm{A})=\frac{n(\mathrm{A})}{n(\Omega )}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

a) $$x=25$$ (thỏa mãn điều kiện xác định)

$$A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{25}-2}{\sqrt{25}+2}=\frac{3}{7}$$

Vậy $$A=\frac{3}{7}$$ khi $$x=25$$.

b) Với $$x\ge 0$$, $$x\ne 4$$.

Ta có : $B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\frac{3}{\sqrt{x}+2}-\frac{12}{x-4}$

$=\frac{{\left(\sqrt{x}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{12}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{x+4\sqrt{x}+4-3\sqrt{x}+6-12}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$

c) Ta có : $$P=A.B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$$

$$\left|P\right|>P$$

TH 1: $$P>P$$(Vô lí)

TH 2: $-P>P\iff \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}>\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$

$\Rightarrow 1-\sqrt{x}>\sqrt{x}-1\iff 2>2\sqrt{x}$

$\iff 1>\sqrt{x}\iff 1>x$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có : $$1>x\ge 0$$

Gọi vận tốc của xe tải là $$x\left(km/h\right)(x>0)$$

$\Rightarrow$ vận tốc của xe khách là $$x+10(km/h)$$

Thời gian đi hết quãng đường của xe tải là $\frac{132}{x}\left(h\right)$ và xe khách là $\frac{132}{x+10}\left(h\right)$

Vì xe khách đi nhanh hơn xe tải là 1 giờ 6 phút = $\frac{11}{10}\left(h\right)$  

Nên ta có phương trình: $\frac{132}{x}-\frac{132}{x+10}=\frac{11}{10}$

$\Rightarrow 132.10\left(x+10\right)-132.10x=11x\left(x+10\right)$

$\Rightarrow x^2+10x-1200=0$

Giải phương trình ta được $$x=40$$ (loại); $$x_2=30$$(thỏa mãn)

Vậy vận tốc của xe tải là $$30km/h$$và xe khách là $$40km/h$$.

Gọi $x,y$  thứ tự là số giờ để vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể $\left(x>0,y>0\right)$.
Ta có $$4$$ giờ $$48$$ phút $=\frac{24}{5}$ giờ
Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể); và thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể) và cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (bể).
Ta có phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{24}{5}}$ hay  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}$
Vòi thứ nhất chảy $$3$$ giờ; vòi thứ hai chảy $$4$$ giờ được $\frac{3}{4}$ bể, ta có phương trình: $\frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{3}{4}$

Vậy, ta có hệ: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{3}{4}\end{array}$
Đặt $u=\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}\left(u>0,v>0\right)$.
Ta có hệ: $\{\begin{array}{l}u+v=\frac{5}{24}\\ 3u+4v=\frac{3}{4}\end{array}$  suy ra    $\{\begin{array}{l}3u+3v=\frac{5}{8}\\ 3u+4v=\frac{3}{4}\end{array}$ hay  $\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{12}\\ v=\frac{1}{8}\end{array}$
Ta tìm được: $x=12;y=8$ (thỏa mãn điều kiện $x>0,y>0$.
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong $$12$$ giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong $$8$$ giờ đầy bể.

Ta có $$a=1;b=2\Rightarrow b^{\prime }=1;c=m$$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $$x_1;x_2$$ khi và chỉ khi

$${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff 1-m\ge 0\iff m\le 1$$

Theo hệ thức Viète, ta có $$x_1+x_2=-2$$ và $$x_1{x}_2=m$$

Xét hệ: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ 3x_1+2x_2=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=5\\ x_2=-7\end{array}$$

(hệ hai ấn bậc nhất đối với $$x_1$$ và $$x_2$$ )

Thế $$x_1=5$$ và $$x_2=-7$$ vào phương trình $$x_1{x}_2=m$$, ta có:

$$m=5.\left(-7\right)=-35$$ (thỏa điều kiện $$m\le 1$$ )

Vậy $$m=-35$$

Bán kính đáy là:$R=\frac{d}{2}$ $=\frac{28}{2}=14\left(\mathrm{cm}\right)$

               Diện tích xung quanh chiếc nón là: $S_{xq}=\pi Rl$$=\pi .14.30=420\pi (\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2)$

               Diện tích lá cần dùng là:

               $$S=\left(420\pi \right).2\approx 840.3,14=2637,6(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2)$$

                  $S\approx 2637,6(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2)$

Đường sinh AB cắt trục OO’ tại C.

Khi đó hai hình nón có đỉnh O, C có chung đáy là hình tròn (O’) có thể tích bằng nhau.

-  Gọi

        V1 là thể tích hình nón đỉnh C, đáy là hình tròn (O’);

        V2 là thể tích hình nón đỉnh O, đáy là hình tròn (O’);

        $V_n=12$ là thể tích nước đổ vào.

        V là thể tích hình nón đỉnh C, đáy là hình tròn (O);

Ta có $$\frac{V_1}{V}=\frac{\frac{1}{3}\cdot C{O}^{\prime }\cdot \pi \cdot O^{\prime }{B}^2}{\frac{1}{3}\cdot CO\cdot \pi \cdot O{A}^2}=\frac{C{O}^{\prime }}{CO}\cdot {\left(\frac{O^{\prime }B}{OA}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{8}$$.

Suy ra $$V_1=V_2=\frac{1}{8}V$$ (1).

(V1 là thể tích hình nón đỉnh C, đáy là hình tròn (O’); V2 là thể tích hình nón đỉnh O, đáy là hình tròn (O’), đường cao của mỗi hình nón bằng nhau $$C{O}^{\prime }=O{O}^{\prime }$$).

Mặt khác, ta có: $$V_1+V_2+V_n=V$$

$$\Rightarrow \frac{1}{8}V+\frac{1}{8}V+V_n=V$$vào $V_n=\frac{6}{8}V$ (2)

Từ  (1) và (2) suy ra $$V_1=V_2=\frac{1}{6}{V}_n=\frac{1}{6}\cdot 12=2$$ lít.

Vậy thể tích của phễu là 2 lít.