Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 35

a) Nhóm [25; 35) chiếm 33,75% so với tổng số đại biểu và có 54 người.

Suy ra số người tham dự hội nghị là 54: 33,75% = 160 (người)

Vậy tổng số đại biểu tham dự hội nghị là 160 người.

b) Tổng số % số đại biểu tham dự hội nghị dưới 45 tuổi là:

$$33,75\%+28,75\%=62,5\%>50\%.$$

Vậy nhận định “Trên 50% số đại biểu tham dự hội nghị dưới 45 tuổi” “ là đúng.

Có $$12$$ kết quả có thể xảy ra khi quay ngẫu nhiên tấm bìa một lần.

$$A=\left\{1;2;3;...;12\right\}$$

Có $$5$$ kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $$2;3;5;7;11$$.

Vậy xác suất của biến $$P$$ cố là: $$\frac{5}{12}$$.

a) Thay $$x=4$$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $$A$$ ta có: $A=\frac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}+3}=\frac{3}{5}$  

        Vậy giá trị của biểu thức $A$ tại $x=4$ là: $\frac{3}{5}$

                        b)  Ta có: $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2\sqrt{x}+4}{x-1}$

$$=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)+2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{2x-2\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$$

                        Vậy $$B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$$ với $x\ge 0;x\ne 1$.

        c) Ta có: $A.B\le \frac{1}{2}$

                         $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\cdot \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\le \frac{1}{2}$

                                        $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}\le \frac{1}{2}$

                                 $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}-\frac{1}{2}\le 0$

                     $\frac{2\sqrt{x}-4-\sqrt{x}-3}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}\le 0$

                                 $\frac{\sqrt{x}-7}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}\le 0$

                                 $\sqrt{x}-7\le 0$  (Vì $2\left(\sqrt{x}+3\right)>0$)

$\sqrt{x}\le 7$

$x\le 49$

                 Kết hợp điều kiện ta có: $0\le x\le 49;x\ne 1$.

                 Vậy $0\le x\le 49;x\ne 1$ thì $A.B\le \frac{1}{2}$.

Gọi giá tiền của bàn là và quạt điện theo giá niêm yết lần lượt là: $x;y$ (đơn vị: nghìn đồng; điều kiện $0<x;y<850$).

Do tổng số tiền mua bàn là và quạt điện theo giá niêm yết là $$850$$ nghìn đồng nên ta có phương trình:  $x+y=850$   (1).

Bàn là giảm giá 20% nên số tiền cần trả cho bàn là là: $x-\frac{20}{100}x=\frac{4}{5}x$ (nghìn đồng).

Quạt điện giảm giá 10% nên số tiền trả cho quạt điện là: $y-\frac{10}{100}y=\frac{9}{10}y$ (nghìn đồng).

Tổng số tiền phải trả theo giá khuyến mại là $$740$$ nghìn nên ta có phương trình:

$\frac{4}{5}x+\frac{9}{10}y=740$     (2)

        Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=850\\ \frac{4}{5}x+\frac{9}{10}y=740\end{array}$

        Giải hệ ta được $\{\begin{array}{c}x=250\\ y=500\end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

        Vậy giá tiền của bàn là là $$250$$ nghìn đồng, của quạt điện là $$600$$ nghìn đồng.

Gọi vận tốc lúc đi là: $x$(km/h) $\left(x>0\right)$

      Thời gian lúc đi là $\frac{30}{x}$ (giờ)

      Quãng đường lúc về là : $30+6=36$ (km)

      Vận tốc lúc về là : $x+3$ (km/h)

      Thời gian lúc về là : $\frac{36}{x+3}$ (giờ)

Theo đầu bài thời gian về ít hơn thời gian đi $20$ phút = $\frac{1}{3}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{30}{x}-\frac{36}{x+3}=\frac{1}{3}$

                                                   $\frac{90\left(x+3\right)}{3x\left(x+3\right)}-\frac{108x}{3x\left(x+3\right)}=\frac{x\left(x+3\right)}{3x\left(x+3\right)}$

                                                           $90\left(x+3\right)-108x=x\left(x+3\right)$

                                                              $x^2+21x-270=0$

                                                             $\left(x+30\right)\left(x-9\right)=0$

                                                         $x=-30$ (loại) hoặc $x=9$ (thoả mãn)

            Vậy vận tốc lúc đi là $9$ km/h.

Thể tích lượng nước trong khối hộp bị tràn ra ngoài là thể tích của khối nón.

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h\approx \frac{1}{3}\cdot 3,14.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 1\approx 0,26(m^2)$

      Vậy lượng nước bị trào ra có thể tích $\approx 0,26(m^2)$.

                    a) $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $$\left(O\right)$$nên : $MA\perp OA;MB\perp OB$

                   - Xét $\Delta MAO$ có $\widehat{MAO}=90^{\circ }$ nên 3 điểm $A,M,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$

                   - Xét $\Delta MBO$ có $\widehat{MBO}=90^{\circ }$ nên 3 điểm $B,M,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM$

Vậy bốn điểm $$M,A,O,B$$ cùng thuộc một đường tròn. (ĐPCM)

b) Ta có:$MA=MB$ ($MA,MB$ là hai tiếp tuyến của $$\left(O\right)$$)

            $OA=OB=R$

Nên $OM$là trung trực của $AB$ hay $OM\perp AB$ tại $H$

Mà $B$ thuộc đường tròn đường kính $AC$nên $\widehat{ABC}=90^{\circ }$ hay $BC\perp AB$

Suy ra: $MO//BC$

$\widehat{IMD}=\widehat{BCD}$ (2 góc so le trong)

Lại có: $\widehat{MBI}=\widehat{BCD}$ nên $$\widehat{IMD}=\widehat{IBM}=\widehat{BCD}$$

Xét $\Delta IMD$ và $\Delta IBM$ có :

$\widehat{MIB}$ chung

$$\widehat{IMD}=\widehat{IBM}$$

Nên: $$\Delta IMD\sim \Delta IBM$$ (g.g)

Suy ra: $$\frac{IM}{IB}=\frac{ID}{IM}$$ hay $$I{M}^2=IB.ID$$(ĐPCM)

c) Ta có $\widehat{ADC}=90^{\circ }$ nên $\widehat{ADM}=90^{\circ }$

Suy ra 3 điểm $A,D,M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AM$.

Mà $\widehat{AHM}=90^{\circ }$nên 3 điểm $A,H,M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AM$.

Suy ra bốn điểm $A,D,H,M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AM$.

Hay $AMDH$  là tứ giác nội tiếp nên  $\widehat{IHD}=\widehat{MAD}$

Mà $\widehat{MAD}=\widehat{ABD}$ nên $\widehat{IBH}=\widehat{IHD}$

Xét $\Delta IHD$ và $\Delta IBH$ có:

$\widehat{IHD}=\widehat{IBH}$ (cmt)

$\widehat{HIB}$ chung

Nên: $\Delta IHD\sim \Delta IBH$, suy ra $I{H}^2=IB.ID$

Mà $I{M}^2=IB.ID$nên $IM=IH$

Gọi $J$ là giao điểm của $IL$ và $BC$

Xét $\Delta MKI$ có $IM//CJ$ nên $\frac{JC}{IM}=\frac{KJ}{KI}$

Xét $\Delta IKH$ có $BJ//IH$ nên $\frac{BJ}{IH}=\frac{KJ}{KI}$

Suy ra : $JC=JB$

Hay $J$ là trung điểm của $BC$

Xét $\Delta ILH$ có $CJ//LH$ nên $\frac{LC}{LH}=\frac{CJ}{HI}=\frac{2CI}{2HJ}=\frac{CB}{MH}$

Lại có $\widehat{MHL}=\widehat{BCL}$ (đồng vị)

Suy ra $\Delta MHL\sim \Delta BCL$ (c.g.c)

Từ đó ta có: $\widehat{HLB}=\widehat{HLM}$

Vậy $M,B,L$ thẳng hàng.

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt $CJ=x,(x>0).$

Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên: $\frac{CJ}{AK}=\frac{JA}{KB}$ hay $\frac{x}{5}=\frac{12}{KB}$

Suy ra $KB=\frac{60}{x}.$

Diện tích của khu nuôi cá là:$S(x)=\frac{1}{2}\left(x+5\right).\left(\frac{60}{x}+12\right)$

                        $S(x)=\frac{1}{2}\left(60+12x+\frac{300}{x}+60\right)$

                            $S(x)=6x+\frac{150}{x}+60$

Áp dụng bất đẳng thức Cachy ta có: $6x+\frac{150}{x}\ge 2\sqrt{6x.\frac{150}{x}}=60$

                        Dấu bằng xảy ra khi: $6x=\frac{150}{x}$

$x^2=25$

$x=5$ (vì $x>0$)

                        Vậy $S(x)=6x+\frac{150}{x}+60\ge 60+60=120$.

                        Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là $120(m^2)$, đạt được khi $x=5m$.