Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 31

Giá trị đại diện của các nhóm dữ liệu lần lượt là $$42,5$$$47,5;52,5;57,5;62,5$.

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu điễn số liệu đã cho:

Có $5$ cách chọn đoạn thẳng thứ nhất

Có $4$ cách chọn đoạn thẳng thứ hai

Có $3$ cách chọn đoạn thẳng thứ ba

Vậy có $5.4.3=60$cách lấy ra ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là $2;4;6;8;10\left(\mathrm{cm}\right)$ nên số phần tử của không gian mẫu là $60$

Trong 10 bộ ba đoạn thẳng đó có ba bộ ba các đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác là

$\left\{4\mathrm{cm};6\mathrm{cm};8\mathrm{cm}\right\};$$\left\{4\mathrm{cm};8\mathrm{cm};10\mathrm{cm}\right\};$$\left\{6\mathrm{cm};8\mathrm{cm};10\mathrm{cm}\right\}$

Mỗi bộ có $6$kết quả thuận lợi

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là $3.6=18$        

Xác suất của biến cố $E$ là $\frac{18}{60}=\frac{3}{10}$

1)    Thay $x=4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được $A=1-\frac{1}{\sqrt{4}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

2)    Ta có $B=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+3\right)+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$=\frac{x-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

3) Xét $P=B.A$$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$$=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$

Xét $P=0$ hay $\sqrt{x}-2=0$$\Rightarrow x=4$ (thỏa mãn)

Xét $P\ne 0$. Có $P=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{5}{\sqrt{x}+3}$.

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{\sqrt{x}+3}$ nhận giá trị nguyên

Vì $x>0$nên $\frac{5}{\sqrt{x}+3}>0$                        $\left(1\right)$

Mặt khác $\sqrt{x}+3\ge 3$ nên $\frac{5}{\sqrt{x}+3}\le \frac{5}{3}$           $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$suy ra :

$0<\frac{5}{\sqrt{x}+3}\le \frac{5}{3}$$\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x}+3}=1$

$\Rightarrow \sqrt{x}+3=5$

$\Rightarrow \sqrt{x}=2$

Nên $x=4$(thỏa mãn)

Gọi giá nhập về của chiếc ti vi là $x$(đồng). Theo đề cửa hàng thu lãi $\frac{x}{10}$, tức là giá đã bán là $x+\frac{x}{10}$. Nếu cửa hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc tivi đó thêm $5\%$giá đã bán và bớt cho khách hàng 245 000 đồng, khi đó giá bán ra là $x+\frac{x}{10}+\frac{5}{100}\left(x+\frac{x}{10}\right)-245000$

Theo đề khi đó cửa hàng thu lãi là 12% của giá nhập về nên ta có phương trình :

$x+\frac{x}{10}+\frac{5}{100}\left(x+\frac{x}{10}\right)-24500=x+\frac{12}{100}x$

Từ đó tính được $x=7000000$

Vậy giá nhập về của chiếc ti vi đó là 7 triệu đồng.

Gọi thời gian bạn A làm một mình hoàn thành công việc là $x$ (giờ, $x>0$)

Gọi thời gian bạn B làm một mình hoàn thành công việc là $y$ (giờ, $y>0$).

Trong $1$giờ bạn A làm được số phần công việc là $\frac{1}{x}$ (công việc)

Trong $1$giờ bạn B làm được số phần công việc là $\frac{1}{y}$ (công việc)

Theo bài ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\\ x-y=12\end{array}$

Giải hệ trên ta được: $x=24;$$y=12$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi làm một mình thì B hoàn thành cả công việc trong $12$ ngày

Sau khi A làm được $\frac{1}{3}$ công việc rồi nghỉ thì B làm nốt công việc còn lại trong thời gian là: $\left(1-\frac{1}{3}\right).12=8$ ngày

Phương trình $$x^2+3x-10=0$$ có hai nghiệm $$x_1$$ và $$x_2$$. Theo định lý Viete, ta có

$x_1+x_2=-3;$$x_1.x_2=-10$

$$A=\frac{x_1+2}{x_2}+\frac{x_2+2}{x_1}$$$$=\frac{x_1\left(x_1+2\right)+x_2.\left(x_2+2\right)}{x_1.x_2}$$

$$A=\frac{x_1^2+2x_1+x_2^2+2x_2}{x_1.x_2}$$$$=\frac{\left(x_1^2+x_2^2\right)+\left(2x_1+2x_2\right)}{x_1.x_2}$$

$$A=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)}{x_1.x_2}$$

$$A=\frac{{\left(-3\right)}^2-2\left(-10\right)+2\left(-3\right)}{-10}$$

$$A=\frac{-23}{10}$$

Gọi $$R$$ là bán kính viên bi. Thể tích $6$ viên bi là thể tích nước dâng lên trong cốc. Khi đó thể tích $6$ viên bi là $V_2=6.\frac{4}{3}\pi .R^3=8\pi .R^3$

                 Từ đó: $8\pi .R^3=125\pi \iff R=\frac{5}{2}$ (cm)

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $E$, $H$, $F$ nằm trên cùng một đường tròn.

Ta có $$\widehat{AEB}=90^{\circ }$$(do $BE$ là đường cao của $\Delta ABC$) hay $$\widehat{AEH}=90^{\circ }$$

$$\widehat{AFC}=90^{\circ }$$ (do $CF$ là đường cao của $\Delta ABC$) hay $$\widehat{AFH}=90^{\circ }$$

Suy ra bốn điểm $A,E,H,F$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $AH$ (đpcm)

b) Chứng minh $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$;

Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$ nên $I$ là tâm đường tròn đường kính $AH$

Suy ra $IA=IE$

Vì$\Delta IAE$ cân tại $I$ nên ${\hat{A}}_1={\hat{E}}_1$                            (1)

$$\Delta EBC$$ vuông tại $$E$$có $$EN$$ là đường trung trrung tuyến ứng với cạnh huyền $$BC$$

Nên $EN=NC\left(=\frac{BC}{2}\right)$

Suy ra $$\Delta ENC$$ cân tại $$N$$ nên $\widehat{NCE}=\widehat{E_4}$                (2)

Xét $$\Delta AKC$$ vuông tại $$K$$ có $$\widehat{KCA}+{\hat{A}}_1=90^{\circ }$$ hay $$\widehat{NCE}+{\hat{A}}_1=90^{\circ }$$        (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ${\hat{E}}_1+{\hat{E}}_4=90^{\circ }$

Lại có  ${\hat{E}}_1+{\hat{E}}_4+\widehat{IEN}=180^{\circ }$  (do $A;E;C$ thẳng hàng)

Suy ra $90^{\circ }+\widehat{IEN}=180^{\circ }$hay$\widehat{IEN}=90^{\circ }$

Suy ra $EN\perp EI$ tại $E$

Do đó $NE$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AH$  (đpcm)

c) Chứng minh $$C{I}^2-I{E}^2=CK.CB$$.

Áp dụng định lí Py – Ta – Go $\Delta CIK$ vuông tại $K$, ta có: $C{I}^2=C{K}^2+I{K}^2$       

Lại có $IA=IE=IH$ (cùng bán kính đường tròn tâm I)

Suy ra $$C{I}^2-I{E}^2=C{K}^2+I{K}^2-I{E}^2$$

$$C{I}^2-I{E}^2=C{K}^2+(IK+IE)(IK-IE)$$

$$C{I}^2-I{E}^2=C{K}^2+(IK+IE)(IK-IH)$$  $$=C{K}^2+AK.KH$$  $\left(4\right)$

Ta lại có $$CK.CB=CK(CK+KB)$$ $$=C{K}^2+CK.KB$$   $\left(5\right)$

Xét  $\Delta KBH$ và $\Delta KAC$ có

$\widehat{KBH}=\widehat{KAC}$ ($=90^{\circ }-\widehat{ACB}$);  $$\widehat{BKH}=\widehat{AKC}=90^{\circ }$$

Do đó $$\left(g-g\right)$$

Nên $\frac{KB}{KA}=\frac{KH}{KC}$ suy ra$KA.KH=KB.KC$ hay $AK.KH=CK.KB$                  $\left(6\right)$

Từ $$\left(4\right)$$,$\left(5\right)$ và $\left(6\right)$ suy ra $$C{I}^2-I{E}^2=CK.CB$$  (đpcm)