Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 28

1)  (0,5 điểm) $A=2\sqrt{48}+3\sqrt{75}-2\sqrt{108}=11\sqrt{3}$  

2) (0,5 điểm)  ($$P=\left(\frac{3}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}\right).\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{9}{\sqrt{4x}}\right)-1$$ (với x > 0, x ¹ 9)

= $$\frac{3\sqrt{x}+9-\sqrt{x}-3}{x-9}.\frac{x-9}{2\sqrt{x}}-1$$ = $$\frac{2\sqrt{x}+6}{2\sqrt{x}}-1$$

= $$\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}-1=\frac{\sqrt{x}+3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}$$.

Vậy P = $$\frac{3}{\sqrt{x}}$$ với x > 0, x ¹ 9

3)    (0,5 điểm) Giải hệ phương trình NH-2024-GV48: $\{\begin{array}{l}-2x+6y=8\\ 3x-7y=-10\end{array}$

                     $\{\begin{array}{l}-6x+18y=24\\ 6x-14y=-20\end{array}$                 $\{\begin{array}{l}4y=4\\ 6x-14y=-20\end{array}$    $\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$

            Vậy hệ phương trình NH-2024-GV48 có nghiệm là $x=-1$; $y=1$.    

a) (0,5 điểm) Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là: $f_1=\frac{8.100}{60}\%=13,33\%;f_2=\frac{18.100}{60}\%=30\%$

$f_3=\frac{24.100}{60}\%=40\%;f_4=\frac{10.100}{60}\%=16,67\%$

b) (0,5 điểm) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

c) (0,5 điểm)

 

 

PT: $x^2-5x-6=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$

           Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=5\\ x_1.x_2=-6\end{array}$

           Khi đó: A = $\frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_1-1}$ = $\frac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}$

           A = $\frac{{x_1}^2+{x_2}^2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1}$ =  $\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1}$

           Vậy: A = $\frac{5^2-2.(-6)-5}{-6-5+1}=\frac{-16}{5}$

Vì chỉ số của Zn và H ở hai bên phương trình phản ứng bằng nhau, nên ta chỉ quan tâm đến chỉ số của N và O

           Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với N và O, ta có hệ phương trình:

           $$\{\begin{array}{l}4y=2x+2\\ 12y=6x+2+2y\end{array}$$                                                                                                  (0,25 điểm)

           $$\{\begin{array}{l}4y-2x=2\\ 10y-6x=2\end{array}$$

           $$\{\begin{array}{l}2y-x=1\left(1\right)\\ 5y-3x=1\left(2\right)\end{array}$$

           Nhân $$2$$ vế pt $$\left(1\right)$$với $$3$$ ta được hệ pt: $$\{\begin{array}{l}6y-3x=3\\ 5y-3x=1\end{array}$$

           Trừ từng vế $$2$$ pt trên ta được $$y=2$$

           Thay $$y=2$$ vào pt $$\left(1\right)$$ta được $$x=3$$

           Vậy ta có phương trình sau cân bằng $$3Zn+8HN{O}_3\to 3Zn(N{O}_3{)}_2+2NO+4H_{2}O$$

Gọi số tiền bác Lan đầu tư vào hai khoản trái phiếu và gửi tiết kiệm lần lượt là $$x$$ (triệu đồng), $$y$$ (triệu đồng) ($$x>0$$, $$y>0$$)                                                                           

           Theo bài ra, bác Lan có $$500$$ triệu đồng để đầu tư vào $$2$$ khoản nên ta có phương trình:

$$x+y=500$$ $$\left(1\right)$$                                                                                              

Mặt khác, số tiền đầu tư vào $$2$$ khoản có lãi suất lần lượt là $$7\%/$$năm và $$6\%/$$năm và tổng số tiền lãi $$1$$ năm nhận được là $$32$$ triệu đồng  nên ta có pt:

$$7\%.x+6\%.y=32$$hay$$7.x+6.y=3200$$ $$\left(2\right)$$                                                   

Từ $$\left(1\right)$$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ pt: $$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 7x+6y=3200\end{array}$$

Từ pt (1), ta có: $$y=500-x$$

Thế $$y=500-x$$vào pt $$\left(2\right)$$ ta được: $$7.x+6.(500-x)=3200$$

$$x+3000=3200$$

$$x=200$$(TMĐK)

Thay$$x=200$$ vào pt $$y=500-x$$, ta có:

$$y=500-200=300$$(TMĐK)                                                                             

Vậy số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm lần lượt là 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.                                                         

Gọi $$O$$ là tâm đường tròn nội tiếp $$\Delta ABC$$.

Khi đó $$O$$ là giao điểm 3 đường phân giác.

Mà $$\Delta ABC$$ đều nên $$AH$$là  đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến.

 Do đó $$O$$ là trọng tâm $$\Delta ABC$$ và  $$AH=3.OH=3.R$$.

và $$\widehat{HAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=30^0;BC=2.HC$$

Xét $$\Delta HAC$$vuông tại $$H$$ta có

$$HC=AH.\tan 30^{\circ }=3R.\frac{\sqrt{3}}{3}=R.\sqrt{3}$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=AH.HC=3R.R\sqrt{3}=3\sqrt{3}{R}^2$$

$$1200=3\sqrt{3}.R^2$$

$$R=\sqrt{\frac{1200}{3\sqrt{3}}}\approx 15,2\left(\mathrm{m}\right)$$

Chu vi đường tròn (O) là $$2.3,14.15,2\approx 95,5$$(m)

               Vậy bán kính $$\left(O\right)$$là $$15,2$$m; chu vi là $$95,5$$m.

(0,75 điểm)

Ta có:$$\widehat{ADB}=90^0$$ ( vì $$AD\perp BC$$       

$$\widehat{AEB}=90^0$$  (vì $$BE\perp AC$$)

Xét tứ giác ABDF có $$\widehat{ADB}=\widehat{AEB}=90^0$$

mà D và F là 2 đỉnh kề nhau cùng cạnh AB

dưới 1 góc vuông

Nên 4 điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) (0,75 điểm)  Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDF có

$$\widehat{EBD}$$là góc nội tiếp chắn cung DE

$$\widehat{EAD}$$là góc nội tiếp chắn cung DE

Nên  $$\widehat{EBD}=\widehat{EAD}$$(Hệ quả góc nội tiếp) hay $$\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$$

Xét ΔBHD và ΔACD có$$\widehat{HDB}=\widehat{CDA}=90^0$$

$$\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$$ (cmt)

Do đó $$\Delta BHD$$ đồng dạng với$$\Delta ACD$$  (g-g)

Suy ra $$\frac{DB}{AD}=\frac{DH}{DC}$$   => DB.DC = DH.DA

      Gọi đường kính của nửa hình tròn là  $$x(m;0<x<8)$$

 Khi đó bán kính: $$\frac{x}{2}(m)$$

     Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là $$y(m;0<y<8)$$

    khi đó tổng độ dài của khuôn gỗ

    $$\begin{array}{l}\frac{\pi x}{2}+x+2y=8\\ \left(\frac{\pi }{2}+1\right)x+2y=8\\ y=4-\left(\frac{\pi +2}{4}\right)x\end{array}$$

  S cửa sổ   $$S=\frac{1}{2}\pi .{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+xy=\frac{\pi x^2}{8}+xy$$

$$\frac{\pi x^2}{8}+x\left[4-\left(\frac{\pi +2}{4}\right)x\right]$$

    = … =  $$-\frac{\pi +4}{8}{\left(x-\frac{16}{\pi +4}\right)}^2+\frac{32}{\pi +4}\le \frac{32}{\pi +4}$$    

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi   $$x=\frac{18}{\pi +4}$$  nên  $$y=\frac{8}{\pi +4}$$