Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 25

1)Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là:     

  $f_1=\frac{8.100}{60}\%=13,33\%;f_2=\frac{18.100}{60}\%=30\%$

$f_3=\frac{24.100}{60}\%=40\%;f_4=\frac{10.100}{60}\%=16,67\%$

 2) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

3)

$$P=\frac{\sqrt{4}+8}{3\sqrt{4}}=\frac{2+8}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$$ 

 Vậy $$x=4$$ thì $$P=\frac{5}{3}$$

$$2)$$ Với $$x\ge 0;x\ne 9$$ Ta có

$$\begin{array}{l}Q=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{7\sqrt{x}+3}{9-x}\\ Q=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{7\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\end{array}$$

$$Q=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)-7\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$

2)    Ta có $$A=P.Q=\frac{\sqrt{x}+8}{3\sqrt{x}}.\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$$

Để $$A\ge 2$$thì $$\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\ge 2$$ suy ra $$\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}-2\ge 0$$  suy ra $$\frac{-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}\ge 0$$

 Suy ra $$-\sqrt{x}+2\ge 0$$ (Vì $$\sqrt{x}+3>0$$$$\forall x>0,x\ne 9$$)

$$-\sqrt{x}\ge -2$$ suy ra $$\sqrt{x}\le 2$$ thì $$x\le 4$$

Kết hợp với điều kiện $$x>0,x\ne 9$$ và $$x\in \mathbb{Z}$$

Vậy $$x\in \left\{1;2;3;4\right\}$$thì $$A\ge 2$$

Ta có $$\{\begin{array}{l}2=y\\ 2x=3y\end{array}$$     $$\{\begin{array}{l}2=y\\ 2x=3.2=6\end{array}$$    $$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$$

Vậy $$x=3;y=2$$ thỏa mân yêu cầu bài toán.

(ĐK x $\in N^{\ast }$)

*Theo kế hoạch:

+ Tổng số sản phẩm làm là $$3000$$ (tấm)

+ Thời gian dự định hoàn thành là   $\frac{3000}{x}$ (ngày)

*Thực tế:

-        $$8$$ ngày đầu phân xưởng thực hiện đúng kế hoạch nên phân xưởng đã làm được là  $$8x$$ (sản phẩm)

-        Số sản phẩm phải làm trong những ngày còn lại là $$3000-8x$$ (sp)

-        Năng xuất làm trong những ngày còn lại là $$x+10$$ (tấm / ngày)

-        Thời gian hoàn thành số sản phẩm còn lại là $\frac{3000-8x}{x+10}$ (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn kế hoạch là 2 ngày nên ta có phương trình

$\frac{3000}{x}-\left(\frac{3000-8x}{x+10}+8\right)=2$

$\frac{3000}{x}-\frac{3000-8x}{x+10}-8=2$

$\frac{3000}{x}-\frac{3000-8x}{x+10}=2+8=10$

$\frac{3000\left(x+10\right)-x.\left(3000-8x\right)}{x.\left(x+10\right)}=\frac{10x.\left(x+10\right)}{x.\left(x+10\right)}$

$3000x+30000-3000x+8x^2=10x^2+100x$

$10x^2-8x^2+100x-30000=0$

$2x^2+100x-30000=0$

$x^2+50x-15000=0$

$\left(x-100\right).\left(x+150\right)=0$

$$x=100$$ (tmđk) hoặc $$x=-150$$ ( ko tmđk)

Vậy số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là 100 (tấm)

Xét phương trình $$2x^2-3x-1=0$$ (1)  có $$a=2,b=-3,c=-1$$

Do $$a.c=-2<0$$ nên pt(1) có hai nghiệm phân biệt $$x_1{x}_2$$

Áp dụng hệ thức viete có $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{3}{2}\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}\end{array}$$

Do đó $$A=\frac{x_1-1}{x_2+1}+\frac{x_2-1}{x_1+1}=\frac{x_1^2+x_2^2-2}{x_1.x_2+\left(x_1+x_2\right)+1}$$

$$=\frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-2}{x_1{x}_2+\left(x_1+x_2\right)+1}$$$$=\frac{{\left(\frac{-3}{2}\right)}^2-2.\left(-\frac{1}{2}\right)-2}{\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}+1}$$$$=\frac{\frac{9}{4}+1-2}{1+1}=\frac{5}{4}.\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$$

$$V=\pi r^{2}h$$

$$192\pi =12\pi r^2$$ suy ra $$r^2=16$$ suy ra $$r=4cm$$

Vì hộp sữa hình trụ có $$r=4cm$$  và chiều cao $$h=12cm$$nên diện tích toàn phần của hộp sữa là:

   $$S_{tp}=2\pi r\left(h+r\right)\approx 402,124c{m}^2\approx 0,04m^2$$

Chi phí sản xuất $$10.000$$ vỏ hộp sữa là : $$0,\mathrm{04.10000.80000}=32000000$$ đồng

a.Chứng minh rằng $$BD\perp \mathrm{EF}$$ tại G

Có $$\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=90^0$$( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BD)

Suy ra $$AE\perp DF$$ và $$FC\perp DE$$

Mà AE cắt FC tại B

Suy ra B là trực tâm của $$\Delta D\mathrm{EF}$$

Suy ra $$BD\perp \mathrm{EF}$$ tại G

b. Chứng minh bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn.

Gọi I là trung điểm của FB

Ta có $$BD\perp \mathrm{EF}$$ tại G (cmt)

$$\to \Delta FGB$$ vuông tại G $$\to GI=\mathrm{IF}=\mathrm{IB}$$(1)

$$AE\perp DF$$ (cmt) suy ra $$\to \Delta FBA$$ vuông tại A  $$\to AI=\mathrm{IF}=\mathrm{IB}$$(2)

Từ (1) và (2)  $$\to GI=AI=\mathrm{IF}=\mathrm{IB}$$

Suy ra bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

c. Chứng minh rằng $$BA.BE=BC.BF=BD.BG$$

+ c/m  (g.g)

$$\to \frac{BA}{BC}=\frac{BF}{BE}$$ $$\to BA.BE=BF.BC$$ (1)

+ c/m  (g.g) $$\to \frac{BF}{BD}=\frac{BG}{BC}$$ $$\to BF.BC=BD.BG$$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $$BA.BE=BC.BF=BD.BG$$ (đpcm)

d. Chứng minh rằng B là tâm đường tròn nội tiếp $$\Delta ACG$$

+ Xét tứ giác ABGF có bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn đường kính BF ( theo câu b) suy ra tứ giác ABGF nội tiếp đường tròn đường kính BF.

+ Do $$\widehat{BCE}=\widehat{BGE}=90^0$$ nên Tứ giác DCEG nội tiếp đường tròn đường kính BE.

+Do $$\widehat{EAF}=\widehat{ECF}=90^0$$ nên Tứ giác ACEF nội tiếp đường tròn đường kính EF.

Do đó $$\widehat{GAB}=\widehat{GFB}$$( =$$\frac{1}{2}$$sđ cung BG)

$$\widehat{CAE}=\widehat{EFA}$$( $$=\frac{1}{2}$$sđ cung CE)

Suy ra $$\widehat{BAG}=\widehat{CAE}\left(=\widehat{EFC}\right)$$ suy ra $$AB$$ là đường phân giác của  $$\Delta ACG$$(1)

Do đó $$\widehat{FCA}=\widehat{FEA}$$( =$$\frac{1}{2}$$sđ cung $$\mathrm{AF}$$)

$$\widehat{GCF}=\widehat{GEB}$$( $$=\frac{1}{2}$$sđ cung $$BG$$)

Suy ra $$\widehat{FCA}=\widehat{GCF}\left(=\widehat{FAE}\right)$$ suy ra $$CB$$ là đường phân giác của  $$\Delta ACG$$(2)

Từ (1) và (2) suy ra B là giao hai đường phân giác của $$\Delta ACG$$

Suy ra B là tâm đường tròn nội tiếp $$\Delta ACG$$ (đpcm)