Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 21

a) Liệt kê các giá trị khác nhau ta được: $1150;1160;1170;1180;1190$

Với mỗi giá trị khác nhau, ta đếm xem giá trị đó xuất hiện bao nhiêu lần trong bảng.

Bảng phân bố tần số:

Tần số tương đối của các giá trị lần lượt là:

$f_1=\frac{3.100}{30}=10\%$; $f_2=\frac{6.100}{30}=20\%$; $f_3=\frac{12.100}{30}=40\%$;

$f_4=\frac{6.100}{30}=20\%$; $f_5=\frac{3.100}{30}=10\%$

Vì vậy, bảng tần số tương đối của mẫu số liệu đã cho được nêu trong Bảng sau.

b) Số bóng đèn có tuổi thọ từ $1160$ đến $1180$ chiếm số phần trăm là:

$20\%+40\%+20\%=80\%$

Vậy nhận định “Có trên $75\%$ bóng đèn có tuổi thọ từ $1160$ đến $1180$” là đúng.

Xét phép thử “Tung một đồng tiền xu liên tiếp ba lần”. Ta thấy, các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Có 8 khả năng có thể xảy ra là: SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: SNN; NSN; NNS.

Vậy $P\left(A\right)=\frac{3}{8}.$

Có $M=\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}$ và $N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với $$x>0;x\ne 1$$.

a) Thay $$x=25$$ (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $N$, ta có $N=\frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}}=\frac{6}{5}$.

Vậy với $$x=25$$ thì giá trị của biểu thức $N=\frac{6}{5}$.

b) Ta có: $M=\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}$

$$M=\frac{\sqrt{x}+2}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$

$$M=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$M=\frac{x+\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}+2}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

$$M=\frac{2\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2\left(\sqrt{x}-1\right)}$$

+) Có $$M=\frac{2\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2\left(\sqrt{x}-1\right)}$$; $N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ mà $$S=M.N$$

Nên $$S=\frac{2\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$$$=\frac{2}{x-1}$$.

Vậy $$S=\frac{2}{x-1}$$ khi $$x>0;x\ne 1$$.

c) Có $$S=\frac{2}{x-1}$$ ($$x>0;x\ne 1$$). Mà $$S<-1$$ nên có $$\frac{2}{x-1}<-1$$.

Do đó: $\frac{2+x-1}{x-1}<0$ hay $\frac{x+1}{x-1}<0$ (1)

Vì $x>0$ nên $x+1>0$                   (2)

Từ (1) (2), ta có: $x-1<0$ nên $x<1$.

Kết hợp điều kiện xác định $$x>0;x\ne 1$$ ta có: $0<x<1$.

Vậy $0<x<1$ thì $S<-1$.

Gọi $$x$$ là số tiền đôi giầy lúc chưa giảm giá ($x>0;$ đồng)

Gọi $$y$$ là số cà vạt lúc chưa giảm giá ($y>0;$ đồng)

Theo bài ra:

+)  Số tiền mua mỗi đôi giầy gấp $$11$$ lần tiền mua mỗi chiếc cà vạt không giảm giá nên ta có phương trình $$x=11y$$ (1)

+) Vì giảm giá $$18\%$$ cho mỗi đôi giầy và $$20\%$$ cho mỗi chiếc cà vạt nên số tiền cần phải trả để mua giầy là $\left(100-18\right)\%x=0,82x$ (đồng) và số tiền cần trả để mua cà vạt là $\left(100-20\right)\%y=0,8y$ (đồng). Bạn Duy đã dùng $$834700$$ đồng nên ta có phương trình: $0,82x+0,8y=834700$  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x=11y\\ 0,82x+0,8y=834700\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được $$x=935000;y=85000$$

Do đó khi chưa giảm giá số tiền mua đôi giầy và cà vạt là:

$$935000+85000=1020000$$ đồng

Vậy với số tiền 1 025 000 đồng bạn Duy đủ tiền mua nên bạn nhẩm chưa đúng.

Gọi $$x$$ (chiếc) là số khẩu trang mà tổ phải may mỗi ngày theo kế hoạch ($x\in \mathbb{N}\ast$).

            Thời gian may xong theo kế hoạch là : $$\frac{8400}{x}$$ (ngày)

            Số khẩu trang thực tế tổ phải may mỗi ngày là: $x+102$ (chiếc)

            Thời gian may xong theo thực tế là : $$\frac{6416}{x+102}$$ (ngày)

            Theo đề bài ta có phương trình: $\frac{8400}{x}-\frac{6416}{x+102}=4$

            Giải phương trình ta được: $x=700(tm)$ ; $x=-306(ktm)$

Vậy số khẩu trang tổ phải may mỗi ngày theo kế hoạch là $700$ chiếc.

Nhận thấy $a+b+c=2+\left[-\left(m+1\right)\right]+m-1=0$ nên phương trình có 2 nghiệm là $1,\frac{m-1}{2}$

Không mất tính tổng quát giả sử phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ , theo yêu cầu bài toán ta có $x_1-x_2=x_1.x_2$

+ Nếu $x_1=1,x_2=\frac{m-1}{2}$ nên $1-\frac{m-1}{2}=\frac{m-1}{2}\iff m=2$

+ Nếu $x_2=1,x_1=\frac{m-1}{2}$ nên $\frac{m-1}{2}-1=\frac{m-1}{2}$  hay $-1=0$  (vô lý)

Do đó, không có giá trị m thỏa mãn.

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

$V=\mathrm{8.8.20}=320\left(c{m}^3\right)$

Thể tích của bốn lỗ hình trụ bằng nhau là: $V_1=\pi R^{2}h=3,14.{\left(\frac{2,5}{2}\right)}^2.20=98,125\left(c{m}^3\right)$

Thể tích đất sét để làm một viên gạch là: $V_2=V-V_1=320-98,125\approx 221,9\left(c{m}^3\right)$

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: $\mathrm{10.1000.}\left(1+2\%\right)=10200$ (viên gạch)

            Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là:  $10200.1100=11220000$ (đồng)                 

a. Ta có: $\widehat{AKB}=90^0$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $$\left(O\right)$$)

nên $\Delta AKC$ vuông tại $K$

Do đó, ba điểm $A,K,C$ thuộc đường tròn đường kính $$AC$$ (1)

+) Ta có $\widehat{AEC}=90^0$ (vì đường kính $$AB$$ vuông góc với dây $$MN$$ tại $$E$$ theo giả thiết)

Nên $\Delta AEC$ vuông tại $E$

Do đó, ba điểm $A,E,C$ thuộc đường tròn đường kính $$AC$$ (2)

Từ (1) và (2), ta có bốn điểm $A,K,E,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$

Vậy tứ giác $$AKCE$$nội tiếp.

b. + Ta có tứ giác AKCE nội tiếp (cmt)

nên $\widehat{KA\mathrm{E}}+\widehat{KC\mathrm{E}}=180^0$ (tính chất)

Do đó, $\widehat{KC\mathrm{E}}=180^0-\widehat{KA\mathrm{E}}$   (1)

+) Ta có bốn điểm AKMB thuộc đường tròn (O) nên tứ giác AKMB nội tiếp

Do đó, $\widehat{KA\mathrm{B}}+\widehat{KMB}=180^0$. Suy ra $\widehat{KMB}=180^0-\widehat{KA\mathrm{B}}$ (2)

+) Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{KC\mathrm{E}}=\widehat{KMB}$ mà $\widehat{KC\mathrm{E}}=\widehat{MCB}$ (đối đỉnh)

Nên $\widehat{MCB}=\widehat{KMB}$

+) Xét $\Delta BMC$ và $\Delta BKM$ có:

$\widehat{MBK}$ chung; $\widehat{MCB}=\widehat{KMB}$ (cmt)

Nên  (góc-góc)

Do đó $\frac{BM}{BK}=\frac{BC}{BM}$. Suy ra$B{M}^2=BK\cdot BC$.

c. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AECK, ta có:

$\widehat{EKC}=\widehat{EAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$EC$$) (3)

+) Xét tam giác BAI có BK, IE là hai đường cao, mà chúng cắt nhau tại C.

Suy ra C trực tâm tam giác $$BAI$$ nên $\widehat{ADB}=90^{\circ }$. Suy ra $$D$$ thuộc đường tròn (O)

+) Ta có $\widehat{CKD}=\widehat{EAC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$BD$$của đường tròn (O). (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{EKC}=\widehat{CKD}$

Do đó, $$KC$$ là tia phân giác của góc $$EKD$$

+) Chứng minh tương tự câu a ta được tứ giác $$BECD$$nội tiếp

Suy ra $\widehat{CDE}=\widehat{CBE}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$CE$$)

Mặt khác $\widehat{KDC}=\widehat{CBE}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $$AK$$của$$\left(\mathrm{O}\right)$$)

Suy ra $\widehat{CDE}=\widehat{KDC}$, suy ra $$DC$$ là tia phân giác của góc $$KDE$$

Tam giác $$KDE$$ có $$C$$ là giao điểm của hai đường phân giác góc $$K$$ và $$D$$

Suy ra $$C$$ cách đều 3 cạnh của tam giác $$KDE$$

Gọi $$a$$ (dm) là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ $$\left(a>0\right)$$

Theo đề bài ta có chiều cao của lăng trụ là $h=\frac{62,5}{a^2}$

Diện tích xung quang của hình lăng trụ đứng là:

$S=4.\frac{62,5}{a^2}.a+a^2=\frac{250}{a}+a^2=\frac{125}{a}+\frac{125}{a}+a^2$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có $S\ge 3\sqrt[3]{\frac{125}{a}.\frac{125}{a}.a^2}=75$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{125}{a}=a^2$ hay $a=5$.

Vậy diện tích gỗ nhỏ nhất để sản xuất thùng là $75\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2$ khi độ dài cạnh đáy là $5\mathrm{d}m$.