Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 15

Bước 1: Xác định không gian mẫu (S)

Không gian mẫu $S$ là tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Vì hộp có 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10, nên:

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

Số phần tử của không gian mẫu là $|S|=10$.

Bước 2: Xác định biến cố $A$

Biến cố $A$ là việc viên bi lấy ra có số ghi trên đó là số nguyên tố. Các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến 10 là:$\{2,3,5,7\}$

Vậy biến cố $A$ là tập hợp:$A=\{2,3,5,7\}$

Số phần tử của biến cố $A$ là $|A|=4$.

Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$

Xác suất của biến cố $A$ được tính bằng tỉ số giữa số phần tử của biến cố $A$ và số phần tử của không gian mẫu $S$:

$P(A)=\frac{|A|}{|S|}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Kết luận: Xác suất để lấy được một viên bi có số ghi trên đó là số nguyên tố là $\frac{2}{5}$.

Biểu thức $A$ được cho là: $A=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$

Thay $x=4$ vào biểu thức:

$A=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{4}}{\sqrt{4}+2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{4}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$

Vậy giá trị của $A$ khi $x=4$ là $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$.

2) Chứng minh $B=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{x-\sqrt{x}}$

Biểu thức $B$ được cho là:

$B=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{\sqrt{x}-1}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}-2}{x-\sqrt{x}}$

$B=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{(\sqrt{x}-1)}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}$

$B=\genfrac{}{}{0ex}{}{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}$

$B=\genfrac{}{}{0ex}{}{2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$

$B=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{x-\sqrt{x}}$

Điều phải chứng minh

3) Ta có: $P=A+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{B}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{\sqrt{x}+2}$ với

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{\sqrt{x}+2}\ge 1\Rightarrow x\ge \sqrt{x}+2\Rightarrow x-\sqrt{x}-2\ge 0$

$\Rightarrow \left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\ge 0$

$\left(\sqrt{x}-2\right)\ge 0$

$\sqrt{x}\ge 2$

$\Rightarrow x\ge 4$

Kết hợp với điều kiện ta đc $x\ge 4$ thì $P\ge 1$

 Bài toán có thể được giải bằng cách lập hệ phương trình dựa trên thông tin đề bài:

Gọi $x$ là số học sinh đăng ký dự thi vào trường A

Gọi $y$ là số học sinh đăng ký dự thi vào trường B

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

+) Tổng số học sinh đăng ký dự thi là 1850 học sinh: $x+y=1850$

+) Tổng số học sinh trúng tuyển là 680 học sinh. Số học sinh trúng tuyển tại trường A chiếm 30% số học sinh đăng ký vào trường A, và tại trường B chiếm 80% số học sinh đăng ký vào trường B: $0,3x+0,8y=680$

Giải hệ phương trình này, ta có:

$\{\begin{array}{l}x+y=1850\\ 0,3x+0,8y=680\end{array}$

Từ phương trình thứ nhất, ta có:$y=1850-x$

Thay $y=1850-x$ vào phương trình thứ hai ta được:

$0,3x+0,8(1850-x)=680$

$0,3x+0,8\cdot 1850-0,8x=680$

$0,3x+1480-0,8x=680$

$-0,5x+1480=680$

$-0,5x=680-1480$

$-0,5x=-800$

$x=\frac{-800}{-0,5}=1600$

+) Tìm $y=1850-1600=250$

Vậy số học sinh đăng ký dự thi vào:

- Trường A là 1600 học sinh.

- Trường B là 250 học sinh.

Gọi chiều rộng mặt sân là $x(m)$ ($x>0$) $\Rightarrow$ chiều dài mặt sân là $x+37(m)$

Vì diện tích mặt sân là 7140$m^2$ nên ta có phương trình:

$x(x+37)=7140$

$x^2+37x-7140=0$

Giải phương trình, ta được: $x=68(tm)$; $x=-105(ktm)$

Vậy chiều rộng mặt sân là 68, chiều dài là $68+37=105m$.

Xét phương trình $x^2-2mx+4m-4=0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1,x_2$ khi

$\Delta \prime >0$

$m^2-4m+4>0$

$(m-2{)}^2>0$

$m-2\ne 0$

$m\ne 2$

Với $m\ne 2$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m;x_1{x}_2=\frac{c}{a}=4m-4$

Theo đề bài ta có:

$x_1^2+x_2^2-8=0$

$(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2-8=0$

$(2m{)}^2-2.(4m-4)-8=0$

$4m^2-8m+8-8=0$

$4m^2-8m=0$

$4m(m-2)=0$

$4m=0$ hoặc $m-2=0$

$m=0$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $m=2$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy $m=0$.

$V=\pi r^{2}h$

$192\pi =12\pi r^2$

$r^2=16$

$\Rightarrow r=4cm$

b. Vì hộp sữa hình trụ có $r=4cm$ và chiều cao $h=12cm$ nên diện tích toàn phần của hộp sữa là:

$S^{tp}=2\pi r(h+r)=2\pi .4(12+4)\approx 402,124(c{m}^2)\approx 0,04m^2$

Chi phí sản xuất 10 000 vỏ hộp sữa là: $0,\mathrm{04.10000.80000}=32000000$ đồng

a) $A,P,M,O$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $PO$

b) Ta có: $OP\perp AM;BM\perp AM\Rightarrow BM//OP$

c) $\Delta A\mathrm{O}P=\Delta OBN\Rightarrow OP=BN$, ta lại có $BN//OP$ nên $OPNB$ là hình bình hành

d) Ta có: $ON\perp PJ;PM\perp OJ$, mà $PM\perp ON=I\Rightarrow I$là trực tâm $\Delta POJ\Rightarrow IJ\perp OP$ (1)

Chứng minh được $PAON$ là hình chữ nhật $\Rightarrow K$ là trung điểm $OP$

Lại có: $APO=OPI=IOP\Rightarrow AIPO$ cân tại $I\Rightarrow IK\perp OP$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow I,J,K$ thẳng hàng.