Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 10

Gọi số quả bóng màu vàng là $x$ (quả), đk: $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

        Tổng số bóng trong hộp là $10+x$ (quả)

        Xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là $\frac{10}{10+x}$

        Theo bài ra: $\frac{10}{10+x}=0,4$ hay $10+x=25\Rightarrow x=15$ (t/m)

        Vậy có 15 quả bóng màu vàng.

1) Thay $x=16$ (thoả mãn đk) vào biểu thức $$A$$ ta được: $A=\frac{16-9}{16-3\sqrt{16}}=\frac{7}{4}$.

2) Với $x>0;x\ne 9$ ta có: $$B=\frac{x+3}{x-9}-\frac{1}{3-\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}$$

$$=\frac{x+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$$$$=\frac{x+3+\sqrt{x}+3+2\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$$

$=\frac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$ với $x>0;x\ne 9$ . (đpcm)

3) Ta có: $$P=A.B=\frac{x-9}{x-3\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)\sqrt{x}}{\sqrt{x}{\left(\sqrt{x}-3\right)}^2}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}$$

Do đó: $$P<1\iff \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}<1$$

$$\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}-1<0$$

$$\frac{6}{\sqrt{x}-3}<0$$

$$\sqrt{x}-3<0$$

$$0<x<9$$

Do $x$ nguyên nên $x\in \left\{1;2;3;...;8\right\}$

Vậy $x\in \left\{1;2;3;...;8\right\}$ thì $P<1$

a) Vì nhà bạn Trang sử dụng hết 25m3 nước nên số tiền nhà Trang phải trả là 10m3 theo giá ở bậc 1; 10m3 theo giá ở bậc hai; 5m3 theo giá ở bậc 3.

                Số tiền nhà bạn Trang phải trả cho 10m3 nước đầu tiên là:

                           10.6000 = 60 000 (đồng)

                Số tiền nhà bạn Trang phải trả cho 10m3 nước tiếp theo là:

                           10.7100 = 71 000 (đồng)

                Số tiền nhà bạn Trang phải trả cho 5m3 nước tiếp theo nữa là:

                           5.8600 = 43 000 (đồng)

Vậy tổng số tiền nhà bạn Trang phải trả là:

                        60 000 + 71 000 + 43 000 = 174 000 (đồng)

b) Số tiền phải trả cho 30m3 nước đầu tiên là:

                        10.6000 + 10.7100 + 10.8600 = 217 000 (đồng)

Vì 297 000 (đồng) lớn hơn 217 000 (đồng) nên nhà Trang đã phải trả một số tiền theo giá ở bậc 4.

Gọi số mét khối nước mà nhà Trang phải trả theo giá ở bậc 4 là x (m3).

Theo đề bài ta có: 217 000 + x.16 000 = 297 000

Tìm được x = 5

Vậy trong tháng 2 nhà bạn Trang dùng hết 30 + 5 = 35 m3 nước

Tổng số học sinh dự thi của hai trường X và Y là: $420:84\%=500$

              Gọi $x$, $y$ lần lượt là số học sinh hai trường X và Y ($x$; $y$ nguyên dương, $x$; $y<420$)

              Vì số học sinh dự thi của 2 trường là 500 học sinh nên ta có phương trình $x+y=500$                                                        $\left(1\right)$

              Tỉ lệ đạu lớp 10 của riêng trường X là 80%, trường Y là 90% nên ta có phương trình:  $0,8x+0,9y=420$$\left(2\right)$

              Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 0,8x+0,9y=420\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=300\\ y=200\end{array}$ (thỏa mãn)

              Vậy trường X có $300$ học sinh tham gia dự thi và trường Y là$200$ học sinh dự thi.

Tổng số học sinh dự thi của hai trường X và Y là: $420:84\%=500$

              Gọi $x$, $y$ lần lượt là số học sinh hai trường X và Y ($x$; $y$ nguyên dương, $x$; $y<420$)

              Vì số học sinh dự thi của 2 trường là 500 học sinh nên ta có phương trình $x+y=500$                                                        $\left(1\right)$

              Tỉ lệ đạu lớp 10 của riêng trường X là 80%, trường Y là 90% nên ta có phương trình:  $0,8x+0,9y=420$$\left(2\right)$

              Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 0,8x+0,9y=420\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=300\\ y=200\end{array}$ (thỏa mãn)

              Vậy trường X có $300$ học sinh tham gia dự thi và trường Y là$200$ học sinh dự thi.

Thể tích nước bơm vào bồn là : $V=3,1.11,5.\left(2,3-1,5\right)=28,52m^3=28520l$

Thời gian cần để bơm nước đến độ cao cách nắp 1,5m là : $\frac{28520}{120}\approx 238$phút

Xét tứ giác $$BFEC$$, có:

$$\{\begin{array}{l}\widehat{BFC}=90^{\circ }\left(CF\perp AB\right)\\ \widehat{BEC}=90^{\circ }\left(BE\perp AC\right)\end{array}$$

$$\Rightarrow F,E$$ cùng nhìn cạnh $$BC$$ dưới một góc $$90^o$$

$$\Rightarrow$$Tứ giác $$BFEC$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$BC$$.

$$\Rightarrow \widehat{KBF}=\widehat{KEC}$$ (cùng bù $$\widehat{FBE}$$).

$\Rightarrow \frac{KB}{KE}=\frac{KF}{KC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$$\Rightarrow KB.KC=KE.KF$$ $\left(1\right)$

b)   Đường thẳng $KA$ cắt $\left(O\right)$ tại $M$. Chứng minh tứ giác $AEFM$ nội tiếp.

Ta có  $AMBC$ nội tiếp $\left(O\right)$

$$\Rightarrow \widehat{KMB}=\widehat{KCA}$$  (cùng bù $\widehat{BMA}$)

$$\Rightarrow$$$\frac{KB}{KA}=\frac{KM}{KC}$  (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$$\Rightarrow KB.KC=KM.KA$$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $$\Rightarrow KM.KA=KE.KF$$

$$\Rightarrow \frac{KM}{KE}=\frac{KF}{KA}$$

$$\Rightarrow \widehat{KMF}=\widehat{KEA}$$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

$$\Rightarrow AMFE$$ nội tiếp.

c)   Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

Xét tứ giác AMFE, ta có:

$$\{\begin{array}{l}\widehat{HFA}=90^o\left(HF\perp AB\right)\\ \widehat{HEA}=90^o\left(HE\perp AC\right)\end{array}$$.

Suy ra: $$AFHE$$ nội tiếp đường tròn đường kính $$AH$$

Mà $$AMFE$$ nội tiếp

$$\Rightarrow A,M,F,H,E\in$$ đường tròn đường kính $$AH$$

$$\Rightarrow \widehat{HMA}=\widehat{HFA}=90^{\circ }$$$$\Rightarrow HM\perp AM$$ $\left(3\right)$

Gọi $$I$$ là điểm đối xứng của $$A$$ qua $$O\Rightarrow AI$$ là đường kính của $$\left(O\right)$$

$$\Rightarrow AM\perp MI$$ $\left(4\right)$

Từ $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$ $$\Rightarrow M,H,I$$ thẳng hàng $\left(5\right)$

Mà $$AI$$ là đường kính của $$\left(O\right)$$

$$\Rightarrow IC\perp AC,IB\perp BA$$

$$\Rightarrow IC\parallel BH,IB\parallel CH$$

$$\Rightarrow BHCI$$ là hình bình hành

$$\Rightarrow HI\cap BC=N$$ là trung điểm mỗi đường

$$\Rightarrow H,N,I$$ thẳng hàng $\left(6\right)$

Từ $\left(5\right)$ và $\left(6\right)$ $$\Rightarrow M,H,N$$ thẳng hàng (đpcm).

Gọi khoảng cách từ $E$ đến $AB,AD$ lần lượt là $EH,EK.$

Đặt $KN=x\left(m\right)$, đk: $x>0$

Hai tam giác vuông $KEN,HME$ đồng dạng nên $$\genfrac{}{}{0ex}{}{KE}{KN}=\genfrac{}{}{0ex}{}{HM}{HE}\Rightarrow \genfrac{}{}{0ex}{}{12}{x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{HM}{5}\Rightarrow HM=\genfrac{}{}{0ex}{}{60}{x}\left(m\right)$$

Diện tích tam giác $AMN$ là:

$S^{AMN}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}.AM.AN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}.\left(12+\genfrac{}{}{0ex}{}{60}{x}\right).\left(5+x\right)=\left(6+\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{x}\right).\left(5+x\right)$

$$30+6x+\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}+30=60+6x+\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}\ge 60+2\sqrt{6x.\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}}=$$120

Dấu “=” xảy ra khi

$$6x=\genfrac{}{}{0ex}{}{150}{x}$$

$$x^2=25$$

$$x=5$$.

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao $AMN$ mà anh Thịnh có thể quây được là $120m^2$..