Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 1

Tần số tương đối của mỗi nhóm là:

$$f_1=\frac{5.100}{60}\%=8,3\%$$;$$f_2=\frac{8.100}{60}\%=13,4\%$$;$$f_3=\frac{12.100}{60}\%=20\%$$;$$f_4=\frac{20.100}{60}\%=33,3\%$$;$$f_5=\frac{15.100}{60}\%=25\%$$

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho là:

Có $$A=\frac{x-3}{\sqrt{x}}$$ $$\left(x>0,x\ne 4\right)$$   

Thay $$x=16$$ (TMĐK) vào biểu thức $$A$$ ta có:

$$A=\frac{16-3}{\sqrt{16}}=\frac{13}{4}$$

Vậy $$A=\frac{13}{4}$$ khi $$x=16$$

Rút gọn $$B$$:

$$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{4\sqrt{x}}{4-x}(x>0,x\ne 4)$$

$$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x+2})}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x+2})}+\frac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x+2})}$$

$$B=\frac{x-2\sqrt{x}+4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x+2})}$$

$$B=\frac{x+2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x+2})}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x+2})}$$

$$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$

Vậy $$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$ với $$x>0,x\ne 4$$

Có $$A=\frac{x-3}{\sqrt{x}}$$ và $$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}(x>0,x\ne 4)$$ 

$$P=A.B$$

$$P=\frac{x-3}{\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$$

$$P=\frac{x-3}{\sqrt{x}-2}$$

Để $$P\le 6$$ thì $$\frac{x-3}{\sqrt{x}-2}\le 6$$

        $$\frac{x-3}{\sqrt{x}-2}-6\le 0$$         

        $$\frac{x-3-6(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2}\le 0$$

        $$\frac{x-3-6\sqrt{x}+12}{\sqrt{x}-2}\le 0$$

        $$\frac{x-6\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-2}\le 0$$

        $$\frac{{\left(\sqrt{x}-3\right)}^2}{\sqrt{x}-2}\le 0$$

TH1: $$\frac{{\left(\sqrt{x}-3\right)}^2}{\sqrt{x}-2}=0$$

        $${\left(\sqrt{x}-3\right)}^2=0$$

        $$\sqrt{x}-3=0$$

        $$\sqrt{x}=3$$

        $$x=9$$ (TMĐK)

TH2: $$\frac{{\left(\sqrt{x}-3\right)}^2}{\sqrt{x}-2}<0$$

Mà $${\left(\sqrt{x}-3\right)}^2\ge 0,\forall x$$ TMĐKXĐ

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\left(\sqrt{x}-3\right)}^2>0\\ \sqrt{x}-2<0\end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sqrt{x}-3\ne 0\\ \sqrt{x}<2\end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sqrt{x}\ne 3\\ x<4\end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 9\\ x<4\end{array}$$

$$\Rightarrow x<4$$ mà $$x>0,x\ne 4$$ và $$x$$ là số nguyên $$\Rightarrow x\in \{1;2;3\}$$

Vậy để $$P\le 6$$ thì $$x\in \{1;2;3;9\}$$

Gọi giá tiền niêm yết của một cái bàn ủi:$x$ (ngàn đồng).

Gọi giá tiền niêm yết của một cái quạt điện là: $y$ (ngàn đồng).

Điều kiện: $0<x<850;0<y<850$.

Vì với tổng số tiền theo giá niêm yết là $850$ ngàn đồng nên ta có phương trình:

$x+y=850$.     (1)

Thực tế khi trả tiền:

  + Số tiền mà anh Bình được giảm khi mua một cái bàn ủi là: $10\%x=0,1x$ (ngàn đồng).

  + Số tiền mà anh Bình được giảm khi mua một cái quạt điện là: $20\%y=0,2y$ (ngàn đồng).

Vì anh Bình đã được giảm giá $125$ ngàn đồng khi mua $2$ sản phẩm trên nên ta có phương trình: $0,1x+0,2y=125$.     $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=850\\ 0,1x+0,2y=125\end{array}$.

Giải hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{l}x=450\\ y=400\end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc bàn ủi mà anh Bình đã mua là: $450.10\%=45$ (ngàn).

Số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc bàn ủi mà anh Bình đã mua là: $400.20\%=80$ (ngàn).

Xe máy đi trước ô tô thời gian là: $6$ giờ $30$ phút - $6$ giờ $=$ $30$ phút $=$ $\frac{1}{2}h$.

Gọi vận tốc của xe máy là $x$ (km/h) $(x>0)$

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy $15$ km/h nên vận tốc của ô tô là $x+15$(km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: $$\frac{90}{x}(h)$$

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: $\frac{90}{x+15}(h)$

Do xe máy đi trước ô tô $\frac{1}{2}$ giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình: $$\frac{90}{x}-\frac{1}{2}=\frac{90}{x+15}$$

$$\mathrm{90.2.}(x+15)-x(x+15)=90.2x$$

$$180x+2700-x^2-15x=180x$$

$$x^2+15x-2700=0$$

Ta có:  $\Delta =15^2-4.(-2700)=11025>0$; $\sqrt{\Delta }=\sqrt{11025}=105$

$x_1=\frac{-15-105}{2}=-60$ (không thỏa mãn)

$x_2=\frac{-15+105}{2}=45$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của xe máy là $45$ (km/h), vận tốc của ô tô là $45+15=60$(km/h).

$$2x^2-4x+m=0$$ có nghiệm $$x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$$ nên ta thay $$x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$$ vào phương trình:

$$2{\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)}^2-4.\frac{2+\sqrt{10}}{2}+m=0$$

$$7+2\sqrt{10}-4-2\sqrt{10}+m=0$$

$$m=-3$$

Phương trình: $$2x^2-4x-3=0$$

Theo định lí Vi-et ta có: $$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1.x_2=\frac{-3}{2}\end{array}$$

Vì ống đồng hình trụ có $h=5R$ nên: $$V_{ongdong}=S_d.h$$ $$=\pi R^{2}h$$ $$=\pi R^{2}5R$$ $$=5\pi R^3$$

$\Rightarrow R^3=\frac{V_{ongdong}}{5\pi }$ $=\frac{40\pi }{5\pi }$ $=8$

$\Rightarrow R=2$$\Rightarrow h=10(\mathrm{cm})$

Vậy chiều cao của ống đồng là $10(\mathrm{cm})$.

a) Gọi $$I$$ là trung điểm của $$HB$$$\Rightarrow HI=IB=\frac{HB}{2}$

Xét nửa đường tròn $(O)$, đường kính $$AB$$ có: $\widehat{ACB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta CHB$ vuông, mà  $$CI$$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow IC=IH=IB=\frac{HB}{2}$ (1)

Xét nửa đường tròn $(O)$, đường kính $$AB$$ có: $\widehat{HKB}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \Delta KHB$ vuông, mà  $$KI$$ là đường trung tuyến.

$\Rightarrow IK=IH=IB=\frac{HB}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\Rightarrow IC=IK=IH=IB$

$\Rightarrow$ Bốn điểm $$C,B,H,K$$cùng thuộc một đường tròn.

b) Có $\widehat{MCA}=\widehat{MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn ); $\widehat{ACK}=\widehat{MBA}$ (tứ giác $CHKB$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{MCA}=\widehat{ACK}$

$\Rightarrow CA$ là phân giác $\widehat{MCK}$.

c) Theo giả thiết: $\frac{AP.MB}{MA}=R$$\Rightarrow \frac{AP}{MA}=\frac{OA}{MB}$

Xét $\Delta PAO$ và $\Delta AMB$ có: $\frac{AP}{MA}=\frac{OA}{MB}$; $\widehat{PAO}=\widehat{AMB}=90^{\circ }$

 (c-g-c)

$\Rightarrow \widehat{POA}=\widehat{MBA}$ (hai góc tương ứng)

$$\Rightarrow OP//BQ$$

Xét $\Delta ABQ$ có: $$OP//BQ$$, $$O$$là trung điểm của AB nên         $$P$$là trung điểm của $$AQ$$.

Gọi $$F$$là giao điểm của $$BP$$ và $$HK$$.

Xét $\Delta ABP$có $$FK//AP$$nên $$\frac{FK}{AP}=\frac{BF}{BP}$$

Xét $\Delta QBP$có $$FH//QP$$nên $$\frac{FH}{QP}=\frac{BF}{BP}$$

Từ đó $HF=FK$suy ra $$PB$$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng$$HK$$.

Suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu của trang giấy là$30cm,20cm$.