Đề thi giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Lời giải

Giả sử chi phí sản suất các mặt hình trụ là như nhau và các mép nối không đáng kể.

Ta có, thể tích hình trụ là $V=\pi r^{2}h=330(\mathrm{ml})=330(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3)\Rightarrow h=\frac{330}{\pi r^2}(\mathrm{cm}).$

Diện tích toàn phần của hộp đựng là: $S\left(r\right)=2\pi r^2+2\pi r\cdot h=2\pi r^2+\frac{660}{r}$.

Ta có $S^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{660}{r^2};S^{\prime }\left(r\right)=0\Rightarrow r^3=\frac{165}{\pi }\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{165}{\pi }}(\mathrm{cm})$.

Bảng biến thiên

$330\mathrm{ml}.$ Tìm bán kính của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (đơn vị: cm). (ảnh 1)">

Từ bảng biến thiên, ta kết luận $r=\sqrt[3]{\frac{165}{\pi }}(\mathrm{cm})$ thì chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất.

Gọi $x(km/h)$ là vận tốc của tàu, $x>0$.

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: $\frac{1}{x}$ (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất để tàu chạy 1 km là: $\frac{1}{x}\cdot 480=\frac{480}{x}$ (nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là $p=k{x}^2$ (nghìn đồng/ giờ).

Khi $x=10,p=10\Rightarrow k=0,1$ nên $p=0,1x^2$ (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần thứ hai để tàu chạy 1 km là: $\frac{1}{x}\cdot 0,1x^2=0,1x$ (nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy 1 km đường sông: $f\left(x\right)=\frac{480}{x}+0,1x$ (nghìn đồng).

Thay $x=v=30$ (km/giờ) vào ta có $f\left(30\right)=\frac{480}{30}+0,1\cdot 30=19$ (nghìn đồng).

Từ giả thiết, ta suy ra được:

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b};\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\right)=\cos \widehat{DA{C}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{3}}$; $\cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)=\cos \widehat{BA{C}^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Giả sử lực tổng hợp là $\overrightarrow{m}$, tức là $\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Khi đó, ${\overrightarrow{m}}^2={\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}^2$$={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+{\overrightarrow{c}}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}+2\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$

                        $={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+0+2\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \left|\overrightarrow{c}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)+2\left|\overrightarrow{c}\right|\cdot \left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}\right)$

                        $=10^2+10^2+20^2+2\cdot 10\cdot 20\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+2\cdot 10\cdot 20\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

                        $=600+\frac{800}{\sqrt{3}}$.

Suy ra ${\left|\overrightarrow{m}\right|}^2={\overrightarrow{m}}^2=600+\frac{800}{\sqrt{3}}$. Do đó, $\left|\overrightarrow{m}\right|=\sqrt{600+\frac{800}{\sqrt{3}}}\approx 32,6$.

Vậy độ lớn hợp lực của các lực $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ bằng khoảng $32,6$ N.