Đề thi giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Thời gian nếu đi trực tiếp từ A đến B trên sa mạc là $\frac{70}{30}=\frac{7}{3}>2$.

Do đó, nhà địa chất học không thể đến đúng thời gian quy định.

Vì vậy cần thiết phải chia quãng đường đi được thành 3 giai đoạn: $A\to C\to D\to B$.

Đặt $HC=x\left(0<x<70\right);DK=y\left(0<y<70\right)$.

Thời gian đi từ $A\to C$ là $\frac{\sqrt{{10}^2+x^2}}{30}$.

Thời gian đi từ $C\to D$ là $\frac{70-\left(x+y\right)}{50}$.

Thời gian đi từ $D\to B$ là $\frac{\sqrt{{10}^2+y^2}}{30}$.

Tổng thời gian đi từ $A\to B$ theo cách này là:

 $\frac{\sqrt{{10}^2+x^2}}{30}+\frac{70-\left(x+y\right)}{50}+\frac{\sqrt{{10}^2+y^2}}{30}=\frac{\sqrt{{10}^2+x^2}}{30}+\frac{35-x}{50}+\frac{\sqrt{{10}^2+y^2}}{30}+\frac{35-y}{50}=f\left(x\right)+f\left(y\right)$.

Xét $f\left(u\right)=\frac{\sqrt{{10}^2+u^2}}{30}+\frac{35-u}{50}$, $0<u<70$.

Ta có $f^{\prime }\left(u\right)=\frac{u}{30\sqrt{{10}^2+u^2}}-\frac{1}{50};f^{\prime }\left(u\right)=0\Rightarrow u=\frac{15}{2}$.

Lập bảng biến thiên ta được $\underset{u\in \left(0;70\right)}{\min }f\left(u\right)=f\left(\frac{15}{2}\right)=\frac{29}{30}$.

Khi đó $f\left(x\right)+f\left(y\right)\ge \frac{29}{30}+\frac{29}{30}=\frac{29}{15}\approx 1,93$.

Dấu “=” xảy ra khi $x=y=\frac{15}{2}$.

Vậy để đến B sớm nhất thì ông ta phải đi trên đoạn AC một khoảng 12,5 km, đoạn CD một khoảng 45 km và đi trên đoạn DB một khoảng 12,5 km.

a) Lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là $V\left(0\right)=300\left(0^2-0^3\right)+4,5=4,5$lít.

Ta có $30\mathrm{s}=0,5\mathrm{ph}\acute{\mathrm{u}}\mathrm{t}$. Suy ra $V\left(0,5\right)=300\left(0,5^2-0,5^3\right)+4,5=42$ lít.

Khi đó số xăng đã mua là $42-4,5=37,5$ lít.

Vậy số tiền người mua phải trả là $37,5\cdot 21000=787500$ đồng.

b) Xét hàm số $V^{\prime }\left(t\right)=300\left(2t-3t^2\right)$ với $0\le t\le 0,5$. Ta có $V^{\prime \prime }\left(t\right)=300\left(2-6t\right)$.

Khi đó $V^{\prime \prime }\left(t\right)=0\iff 300\left(2-6t\right)=0\iff t=\frac{1}{3}\in \left(0;0,5\right)$.

$V^{\prime }\left(0\right)=0$; $V^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=100$; $V^{\prime }\left(0,5\right)=75$.

Vậy $\underset{t\in \left[0;0,5\right]}{\max }{V}^{\prime }\left(t\right)=V^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=100$. Suy ra tại thời điểm ở giây thứ $\frac{1}{3}\cdot 60=20$ thì tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Ta có $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ nên $P=\left|\overrightarrow{P}\right|=m\cdot \left|\overrightarrow{g}\right|=10$ (N).

Bóng đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{P}=-\overrightarrow{T^{\prime }}$ với $\overrightarrow{T^{\prime }}=\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}$.

Suy ra $T^{\prime }=P=10\mathrm{N}$. Vì $T_1=T_2$ và $\left(\overrightarrow{T_1},\overrightarrow{T_2}\right)=60^{\circ }$ nên

$\frac{T^{\prime }}{2}=T_1\cdot \cos 30^{\circ }\Rightarrow T_1=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ (N).

Vậy lực căng của mỗi nửa sợi dây là $\frac{10\sqrt{3}}{3}\mathrm{N}$.